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2021江蘇高考數(shù)學(xué)試卷（Word版，

（附答案）

絕密★激活前

2019年全國(guó)普通高等學(xué)校招生考試（江蘇試卷）

數(shù)學(xué)一

防范措施

請(qǐng)考生在作答題目前，仔細(xì)閱讀本說(shuō)明及每道題的作答要求。

1、本試卷共4頁(yè)，均為非多項(xiàng)選擇題（第1題至第20題，共20題）。

滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘。

請(qǐng)歸還每張問(wèn)題卡。

2、回答問(wèn)題前，請(qǐng)務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽上您的姓名和考號(hào)。

在試卷和答題紙上的指定區(qū)域填寫(xiě)內(nèi)容。

3.請(qǐng)仔細(xì)檢查監(jiān)考老師在答題紙上粘貼的條形碼上的姓名和考試號(hào)碼。

不確定是否與該人相符。

4. 作答時(shí)，必須用0.5毫米黑色墨水筆在答題紙上指定區(qū)域內(nèi)書(shū)寫(xiě)。

放在其他位置的答案將無(wú)效。

5、如需畫(huà)畫(huà)，必須用2B鉛筆畫(huà)好、寫(xiě)清楚，線條及符號(hào)必須黑色、加粗。

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)的方差，其中。

圓柱體的體積為其中是圓柱體底面的面積，是圓柱體的高度。

圓錐的體積為其中是圓錐的底面積，是圓錐的高度。

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1.填空：本部分共14題，每題5分，共70分。請(qǐng)將答案填入空白處。

填寫(xiě)在答題紙上相應(yīng)的位置上。

1. 給定一個(gè)集合，，則

▲

2. 已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值為

▲

3.下圖是算法流程圖，則S的輸出值為

▲

4. 函數(shù)的定義域是

▲

5.給定一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，這組數(shù)據(jù)的方差是

▲

6.從3名男生和2名女生中選出2名學(xué)生參加志愿服務(wù)。

所選兩名學(xué)生中至少有一人是女學(xué)生的概率為

▲

7. 在直角坐標(biāo)系中，若一條雙曲線過(guò)點(diǎn)（3，4），則該雙曲線的漸近值為

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該直線方程為

▲

8. 假設(shè)序列為等差序列，其前 n 項(xiàng)之和為 。如果 ，則值為

▲

9.如圖，長(zhǎng)方體的體積為120，E為中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積為

是的

▲

10.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)P為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則P點(diǎn)到直線的距離為

最小距離 x+y=0 是

▲

11.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，曲線在點(diǎn)A處。

A的切線過(guò)點(diǎn)（-e，-1）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則A點(diǎn)的坐標(biāo)為

▲

12.如圖，D為BC中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD不

CE 與點(diǎn)相交。如果，則值為

▲

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13. 假設(shè)的值是

▲

14. 設(shè)是在 R 上定義的兩個(gè)周期函數(shù)，周期為 4，周期為 2，且

奇函數(shù)。當(dāng)，，，其中 k>0。如果在區(qū)間 (0,9] 上有 8 個(gè)關(guān)于 x 的方程

同一個(gè)實(shí)根，則k的范圍是

▲

二、回答題：本題共6個(gè)分題，總分90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答。

答：作答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出書(shū)面說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟。

15.（本題滿分14分）

在△ABC中，角A、角B、角C的對(duì)邊分別為a、b、c。

（1）如果a=3c，b=，cosB=，求c的值；

（2）若 ，求 的值。

16.（本題14分）

如圖所示，在直立三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)。

AB=BC。

證明：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E。

17.（本題14分）

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點(diǎn)為F1(-1,0)，

F2 (1, 0)。畫(huà)一條通過(guò) F2 到 x 軸的垂直線 l。它位于 x 軸上方，并且不與 F2 在點(diǎn)相交

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A、橢圓與C相交于點(diǎn)D.連接AF1并延伸與F2相交于點(diǎn)B，連接BF2與F2相交

橢圓C終止于點(diǎn)E并連接DF1。

已知DF1=。

（1）求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程C；

（2）求E點(diǎn)的坐標(biāo)。

18.（本題16分）

如圖所示，某個(gè)湖泊的邊界是一個(gè)以O(shè)為圓心的圓，湖的一側(cè)有一條直路l。

湖上有一座橋AB（AB為圓O的直徑），擬在道路l上選取兩點(diǎn)P、Q。

并建設(shè)兩條直線路段PB、QA。規(guī)劃要求：線段PB、QA上所有點(diǎn)

點(diǎn)A、B到直線l的距離均不小于圓O的半徑。

這些數(shù)字是 AC 和 BD（C 和 D 是垂線的腳），我們得到 AB=10，AC=6，BD=12（單

位置：100米）。

（1）如果道路PB不垂直于橋梁AB，求道路PB的長(zhǎng)度；

（2）在規(guī)劃要求下，在D點(diǎn)是否可以選取P、Q中的一個(gè)？解釋原因；

（3）根據(jù)規(guī)劃要求，設(shè)道路PB、QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）。

當(dāng) d 最小時(shí)，求出點(diǎn) P 和 Q 之間的距離。

19.（本題滿分16分）

設(shè)函數(shù)為f(x)的導(dǎo)數(shù)。

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f(x)的零點(diǎn)和都在集合中，求f(x)的極值點(diǎn)。

值較小；

（3）若江蘇數(shù)學(xué)高考，且f(x)的最大值是M，則證明：M≤。

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20.（滿分16分）

將首項(xiàng)為 1 且公比為正數(shù)的幾何數(shù)列定義為“M 序列”。

（1）給定一個(gè)幾何數(shù)列{an}，滿足：，證明數(shù)列{an}為“M-序列”；

（2）已知序列{bn}滿足：江蘇數(shù)學(xué)高考，其中Sn是序列{bn}前n項(xiàng)的和。

①求出序列{bn}的通式；

② 設(shè)m為正整數(shù)，若存在一個(gè)“M-序列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)

當(dāng) 時(shí)，全部為真。求m的最大值。

2019年全國(guó)普通高等學(xué)校招生考試（江蘇試卷）

數(shù)學(xué)Ⅰ參考答案

1.填空題：考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本操作和基本思維方法。每題5個(gè)

分，總計(jì)70分。

1.

2.2

3.5

4.

5.

6.

7.

8.16

9.10

10.4

11.

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12.

13.

14.

2. 回答問(wèn)題

15、本題主要考察正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的關(guān)系、以及導(dǎo)出的公式。

考試以公式等基礎(chǔ)知識(shí)為主，考查計(jì)算和解決問(wèn)題的能力，滿分為14分。

解決方案：（1）因?yàn)椋?/p>

根據(jù)余弦定理，我們得到，即。

所以。

（2）因?yàn)?/p>

根據(jù)正弦定律，我們得到，所以。

因此，也就是說(shuō)，因此。

因?yàn)椋裕绱恕?/p>

所以。

16、本題主要考查直線與非直線、直線與平面、平面與非平面的位置關(guān)系。

測(cè)試主要考查空間想象、推理能力等基礎(chǔ)知識(shí)，滿分為14分。

證明：（1）因D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，

所以ED∥AB。

在直角三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以 A1B1∥ED。

又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以 A1B1∥平面 DEC1。

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（2）由于AB=BC，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC。

由于三棱柱ABC-A1B1C1為直棱柱，故CC1⊥平面ABC。

又因BE?平面ABC，CC1⊥BE。

因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE⊥平面A1ACC1。

由于C1E？平面A1ACC1，BE⊥C1E。

17. 本題主要考查直線方程、圓方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、

直線、橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)、推理分析問(wèn)題的能力

能力及計(jì)算及解決問(wèn)題的能力。滿分14分。

解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c。

因?yàn)镕1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，所以F1F2=2，c=1。

又因?yàn)?DF1=,AF2⊥x 軸，所以 DF2=，

因此 2a=DF1+DF2=4，因而 a=2。

從b2=a2-c2，我們得到b2=3。

因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

（2）解決方案1：

從（1）可知橢圓C:，a=2，

由于AF2⊥x軸，所以A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1。

將 x=1 代入 F2(x-1) 方程

2+y2=16，解得y=±4。

由于點(diǎn) A 位于 x 軸上方，因此我們得到 A(1,4)。

且F1(-1,0)，所以直線AF1:y=2x+2。

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通過(guò)，得到，

解或。

代入

，

因此，F(xiàn)2（1,0），所以直線BF2：。

通過(guò)，我們得到，解決或。

又因E是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以。

代入，得。因此。

解決方案 2：

由（1）可知橢圓C為： 如圖所示網(wǎng)校頭條，連接EF1。

因?yàn)锽F2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，

因此，∠BF1E=∠B。

因?yàn)镕2A=F2B，所以∠A=∠B，

所以∠A=∠BF1E，因而EF1∥F2A。

因?yàn)?AF2⊥x軸，EF1⊥x軸。

因?yàn)?F1(-1,0)，我們得到。

又因E是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以。

所以。

18、本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線的非均勻性等基本知識(shí)。

考察運(yùn)用直覺(jué)想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

滿分：16分。

解決方案：解決方案 1：

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10

（1）過(guò) A 點(diǎn)作一條線，垂線的底端位于 E 點(diǎn)。

由已知條件可知，四邊形ACDE為矩形。’

因?yàn)?PB⊥AB，

所以。

所以。

因此道路 PB 的長(zhǎng)度為 15（百米）。

（2） ① 若 P 在 D 處，則由（1）可知 E 在圓上，則線段 BE 上的點(diǎn)（除

由于點(diǎn)B（E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以如果P位于D處，就不符合規(guī)則。

規(guī)劃要求。

② 若Q在D處，則連通AD。由(1)可知

因此∠BAD是銳角。

因此，線段AD上存在一點(diǎn)，它到點(diǎn)O的距離小于線段O的半徑。

因此，D處選取的Q也不符合規(guī)劃要求。

綜上所述，在 D 處，P 和 Q 都無(wú)法被選擇。

（3）首先討論點(diǎn)P的位置。

當(dāng)∠OBP90°時(shí)，在中間，。

從上式可知，d≥15。

我們來(lái)討論一下Q點(diǎn)的位置。

由式(2)可知，要使QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)才滿足規(guī)則。

當(dāng)QA=15時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離不小于

圓的半徑O。

綜上所述，當(dāng)PB⊥AB時(shí)，Q點(diǎn)在C點(diǎn)的右側(cè)，且CQ=，d最小。此時(shí)P、

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11

兩點(diǎn)Q之間的距離為PQ=PD+CD+CQ=17+。

因此，當(dāng)d最小時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離為17+（百米）。

解決方案 2：

（1）如圖所示，過(guò)O作OH⊥l，垂線的底為H。

以O(shè)為原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。

由于 BD=12，AC=6，OH=9，直線 l 的方程為 y=9，點(diǎn) A，B

垂直坐標(biāo)為3，-3。

因?yàn)锳B是圓形區(qū)域O的直徑，AB=10，所以圓形區(qū)域O的方程為x2+y2=25。

因此 A(4, 3)，B(?4,?3)，直線 AB 的斜率為。

由于 PB⊥AB，所以直線 PB 的斜率為，

直線PB的方程為。

所以 P(?13,9),.

因此道路 PB 的長(zhǎng)度為 15（百米）。

（2） ①設(shè)P在D點(diǎn)，在線段BD上取點(diǎn)E（?4,0），則當(dāng)EO=490°時(shí)，

在中國(guó)，。

從上式可知，d≥15。

我們來(lái)討論一下Q點(diǎn)的位置。

由式(2)可知，要使QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)才滿足規(guī)則。

當(dāng)QA=15時(shí)，令Q(a,9)，從，得a=，所以Q(,9)，這

當(dāng) 時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑。

綜上所述，當(dāng)P(?13,9)，Q(,9)時(shí)，d最小，P與Q之間的距離為

離開(kāi)

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12

因此，當(dāng)d最小時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離為（百米）。

19、本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)以及數(shù)學(xué)思想的綜合應(yīng)用。

方法分析不包括解決問(wèn)題和邏輯推理能力。滿分為16分。

答：（1）因?yàn)椋浴?/p>

因?yàn)椋裕鉀Q方案是。

（2）因?yàn)?/p>

所以，

因此，令 ，我們得到 或 。

因?yàn)椋诩现校⑶遥?/p>

所以。

此時(shí)，。

令，我們得到或。列表如下：

–

最大限度

最低限度

所以的最小值為。

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十三

（3）因此，

．

因?yàn)橐虼耍?/p>

那么有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)置為。

靠，得到。

名單如下：

–

最大限度

最低限度

所以是最大值。

解決方案 1：

。所以。

解決方案 2：

因?yàn)橐虼恕?/p>

然后，。

那么就訂購(gòu)吧。

令，我們得到。列表如下：

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14

–

最大限度

那么在那個(gè)時(shí)候它就獲得了最大值，而且就是最大值，所以。

所以那時(shí)候，因此。

20、本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通式、性質(zhì)等基本知識(shí)。

知識(shí)，測(cè)試代數(shù)推理、變換和歸約，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探索和解決問(wèn)題

能力。滿分16分。

解答：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，故a1≠0，q≠0。

從，得，解。

因此該序列被稱為“M序列”。

（2）①因?yàn)椋浴?/p>

如果你明白了，那么。

通過(guò)，得到，

那時(shí)，由，得到，

梳理出來(lái)。

所以序列{bn}是一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)和公差均為1。

因此，序列{bn}的通式為bn=n。

②由①可知bk=k,。

由于序列{cn}是“M序列”，令公比為q，因此c1=1，q>0。

因?yàn)閏k≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m。

當(dāng)k=1時(shí)，q≥1；

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15

當(dāng)k=2,3,…,m時(shí)，有。

那么假設(shè) f(x) =。

令，我們得到 x=e。列表如下：

（e，+∞）

–

f(x)

最大限度

因?yàn)橐虼恕?/p>

取，當(dāng)k=1,2,3,4,5,時(shí)，即

經(jīng)過(guò)測(cè)試，也是成立的。

因此m的最大值不小于5。

若m≥6，分別取k=3、6，有3≤q3，且q5≤6，故q15≥243，且

q15≤216，

所以q不存在。因此m的最大值小于6。

綜上所述，m的最大值為5。

數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）

21. 本題由A、B、C三部分組成，請(qǐng)選擇其中兩個(gè)，在相應(yīng)的答題框中作答。

回答該區(qū)域的問(wèn)題。如果您回答了多個(gè)問(wèn)題，則將根據(jù)前兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行評(píng)分。

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16

解釋、證明過(guò)程或計(jì)算步驟。

A.【選修4-2：矩陣不變換】（滿分10分）

已知矩陣

（1）查找 A2；

（2）求矩陣A的特征值。

B.【選修課4-4：坐標(biāo)系非參數(shù)方程】（滿分10分）

在極坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，直線l的方程為。

（1）求出點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離；（2）求出點(diǎn)B到直線l的距離。

C.【選修課4-5：不等式精選講座】（滿分10分）

假設(shè)，解不等式。

第22題和第23題每題10分，共20分，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)在答題紙的指定區(qū)域。

作答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出書(shū)面說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟。

22.（本題10分）假設(shè)。已知。

（1）求n的值；（2）設(shè) ，其中 ，求 的值。

23.（本題10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集為：

令。從集合Mn中選取任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，并使用隨機(jī)變量X來(lái)表示它們之間的距離。

離開(kāi)。

（1）當(dāng)n=1時(shí)，求X的概率分布；

（2）對(duì)于給定的正整數(shù)n（n≥3），求概率P（X≤n）（以n表示）。

數(shù)學(xué) II（附加問(wèn)題）答案

21。

A.【選修4-2：矩陣不變換】

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17

本題主要考察矩陣運(yùn)算、特征值等基礎(chǔ)知識(shí)，考察求解運(yùn)算的能力。

得分：10分。

解決方案：（1）因?yàn)椋?/p>

所以

==。

(2) 矩陣A的特征多項(xiàng)式為

令 ，并解得A的特征值。

B.[選修課4-4：坐標(biāo)系非參數(shù)方程]

本題主要考察曲線極坐標(biāo)方程的基本知識(shí)和計(jì)算求解的能力。

得分：10分。

解：（1）設(shè)極點(diǎn)為O，在△OAB中，A（3，），B（，），

根據(jù)余弦定律，我們得到AB=。

（2）由于直線 l 的方程為，

則直線l過(guò)點(diǎn)且傾斜角為。

再次，所以從點(diǎn)B到線l的距離為。

C.[選修課4-5：關(guān)于不平等的精選講座]

此題主要考查解不等式等基本知識(shí)，考察計(jì)算、推理能力。

力量。滿分10分。

解：當(dāng)x2即x時(shí)，原方程可轉(zhuǎn)化為x+2x-1>2，解為x>1。

綜上所述，原不等式的解集為。

22、本題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考察分析問(wèn)題的能力。

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18

能夠不經(jīng)過(guò)計(jì)算就解決問(wèn)題，滿分10分。

解決方案：（1）因?yàn)椋?/p>

所以，

．

因?yàn)椋?/p>

所以，

必須有解決方案。

（2）由（1）可知。

．

解決方案 1：

因?yàn)橐虼耍?/p>

從而。

解決方案 2：

．

因?yàn)橐虼恕?/p>

所以。

23. 本題主要考察計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)知識(shí)、古典概率模型、隨機(jī)變量及其概率分布。

考察基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯思維能力、推理論證能力，滿分10分。

解： (1) 當(dāng) 時(shí)， 的所有可能值都是 。

的概率分布是，

．

（2）設(shè)和是從中取出的兩個(gè)點(diǎn)。

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19

因?yàn)椋灾恍枰紤]情況。

①若，則，方法不存在；

②如果、則、所以當(dāng)且僅當(dāng)、則或，有2種方式可供選擇；

③如果，那么，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種方式可供選擇；

④如果、那么、所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種方式可供選擇。

綜上所述，當(dāng)，所有可能的值為且，且

．

所以，。