更新時(shí)間:2024-07-30 17:40:51作者:佚名
2021江蘇高考數(shù)學(xué)試卷(Word版,
(附答案)
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2019年全國(guó)普通高等學(xué)校招生考試(江蘇試卷)
數(shù)學(xué)一
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請(qǐng)考生在作答題目前,仔細(xì)閱讀本說(shuō)明及每道題的作答要求。
1、本試卷共4頁(yè),均為非多項(xiàng)選擇題(第1題至第20題,共20題)。
滿分為160分,考試時(shí)間為120分鐘。
請(qǐng)歸還每張問(wèn)題卡。
2、回答問(wèn)題前,請(qǐng)務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽上您的姓名和考號(hào)。
在試卷和答題紙上的指定區(qū)域填寫(xiě)內(nèi)容。
3.請(qǐng)仔細(xì)檢查監(jiān)考老師在答題紙上粘貼的條形碼上的姓名和考試號(hào)碼。
不確定是否與該人相符。
4. 作答時(shí),必須用0.5毫米黑色墨水筆在答題紙上指定區(qū)域內(nèi)書(shū)寫(xiě)。
放在其他位置的答案將無(wú)效。
5、如需畫(huà)畫(huà),必須用2B鉛筆畫(huà)好、寫(xiě)清楚,線條及符號(hào)必須黑色、加粗。
參考公式:
樣本數(shù)據(jù)的方差,其中。
圓柱體的體積為其中是圓柱體底面的面積,是圓柱體的高度。
圓錐的體積為其中是圓錐的底面積,是圓錐的高度。
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1.填空:本部分共14題,每題5分,共70分。請(qǐng)將答案填入空白處。
填寫(xiě)在答題紙上相應(yīng)的位置上。
1. 給定一個(gè)集合,,則
▲
2. 已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0,其中為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的值為
▲
3.下圖是算法流程圖,則S的輸出值為
▲
4. 函數(shù)的定義域是
▲
5.給定一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,這組數(shù)據(jù)的方差是
▲
6.從3名男生和2名女生中選出2名學(xué)生參加志愿服務(wù)。
所選兩名學(xué)生中至少有一人是女學(xué)生的概率為
▲
7. 在直角坐標(biāo)系中,若一條雙曲線過(guò)點(diǎn)(3,4),則該雙曲線的漸近值為
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該直線方程為
▲
8. 假設(shè)序列為等差序列,其前 n 項(xiàng)之和為 。如果 ,則值為
▲
9.如圖,長(zhǎng)方體的體積為120,E為中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積為
是的
▲
10.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)P為曲線上的動(dòng)點(diǎn),則P點(diǎn)到直線的距離為
最小距離 x+y=0 是
▲
11.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在曲線y=lnx上,曲線在點(diǎn)A處。
A的切線過(guò)點(diǎn)(-e,-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則A點(diǎn)的坐標(biāo)為
▲
12.如圖,D為BC中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD不
CE 與點(diǎn)相交。如果,則值為
▲
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13. 假設(shè)的值是
▲
14. 設(shè)是在 R 上定義的兩個(gè)周期函數(shù),周期為 4,周期為 2,且
奇函數(shù)。當(dāng),,,其中 k>0。如果在區(qū)間 (0,9] 上有 8 個(gè)關(guān)于 x 的方程
同一個(gè)實(shí)根,則k的范圍是
▲
二、回答題:本題共6個(gè)分題,總分90分,請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答。
答:作答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出書(shū)面說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟。
15.(本題滿分14分)
在△ABC中,角A、角B、角C的對(duì)邊分別為a、b、c。
(1)如果a=3c,b=,cosB=,求c的值;
(2)若 ,求 的值。
16.(本題14分)
如圖所示,在直立三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)。
AB=BC。
證明:(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E。
17.(本題14分)
如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:的焦點(diǎn)為F1(-1,0),
F2 (1, 0)。畫(huà)一條通過(guò) F2 到 x 軸的垂直線 l。它位于 x 軸上方,并且不與 F2 在點(diǎn)相交
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A、橢圓與C相交于點(diǎn)D.連接AF1并延伸與F2相交于點(diǎn)B,連接BF2與F2相交
橢圓C終止于點(diǎn)E并連接DF1。
已知DF1=。
(1)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程C;
(2)求E點(diǎn)的坐標(biāo)。
18.(本題16分)
如圖所示,某個(gè)湖泊的邊界是一個(gè)以O(shè)為圓心的圓,湖的一側(cè)有一條直路l。
湖上有一座橋AB(AB為圓O的直徑),擬在道路l上選取兩點(diǎn)P、Q。
并建設(shè)兩條直線路段PB、QA。規(guī)劃要求:線段PB、QA上所有點(diǎn)
點(diǎn)A、B到直線l的距離均不小于圓O的半徑。
這些數(shù)字是 AC 和 BD(C 和 D 是垂線的腳),我們得到 AB=10,AC=6,BD=12(單
位置:100米)。
(1)如果道路PB不垂直于橋梁AB,求道路PB的長(zhǎng)度;
(2)在規(guī)劃要求下,在D點(diǎn)是否可以選取P、Q中的一個(gè)?解釋原因;
(3)根據(jù)規(guī)劃要求,設(shè)道路PB、QA的長(zhǎng)度均為d(單位:百米)。
當(dāng) d 最小時(shí),求出點(diǎn) P 和 Q 之間的距離。
19.(本題滿分16分)
設(shè)函數(shù)為f(x)的導(dǎo)數(shù)。
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)的零點(diǎn)和都在集合中,求f(x)的極值點(diǎn)。
值較小;
(3)若江蘇數(shù)學(xué)高考,且f(x)的最大值是M,則證明:M≤。
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20.(滿分16分)
將首項(xiàng)為 1 且公比為正數(shù)的幾何數(shù)列定義為“M 序列”。
(1)給定一個(gè)幾何數(shù)列{an},滿足:,證明數(shù)列{an}為“M-序列”;
(2)已知序列{bn}滿足:江蘇數(shù)學(xué)高考,其中Sn是序列{bn}前n項(xiàng)的和。
①求出序列{bn}的通式;
② 設(shè)m為正整數(shù),若存在一個(gè)“M-序列”{cn},對(duì)任意正整數(shù)k,當(dāng)k≤m時(shí)
當(dāng) 時(shí),全部為真。求m的最大值。
2019年全國(guó)普通高等學(xué)校招生考試(江蘇試卷)
數(shù)學(xué)Ⅰ參考答案
1.填空題:考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本操作和基本思維方法。每題5個(gè)
分,總計(jì)70分。
1.
2.2
3.5
4.
5.
6.
7.
8.16
9.10
10.4
11.
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12.
13.
14.
2. 回答問(wèn)題
15、本題主要考察正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的關(guān)系、以及導(dǎo)出的公式。
考試以公式等基礎(chǔ)知識(shí)為主,考查計(jì)算和解決問(wèn)題的能力,滿分為14分。
解決方案:(1)因?yàn)椋?/p>
根據(jù)余弦定理,我們得到,即。
所以。
(2)因?yàn)?/p>
根據(jù)正弦定律,我們得到,所以。
因此,也就是說(shuō),因此。
因?yàn)椋裕绱恕?/p>
所以。
16、本題主要考查直線與非直線、直線與平面、平面與非平面的位置關(guān)系。
測(cè)試主要考查空間想象、推理能力等基礎(chǔ)知識(shí),滿分為14分。
證明:(1)因D、E分別為BC、AC的中點(diǎn),
所以ED∥AB。
在直角三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,
所以 A1B1∥ED。
又因?yàn)镋D?平面DEC1,A1B1平面DEC1,
所以 A1B1∥平面 DEC1。
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(2)由于AB=BC,且E是AC的中點(diǎn),所以BE⊥AC。
由于三棱柱ABC-A1B1C1為直棱柱,故CC1⊥平面ABC。
又因BE?平面ABC,CC1⊥BE。
因?yàn)镃1C?平面A1ACC1,AC?平面A1ACC1,C1C∩AC=C,
所以BE⊥平面A1ACC1。
由于C1E?平面A1ACC1,BE⊥C1E。
17. 本題主要考查直線方程、圓方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、
直線、橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)、推理分析問(wèn)題的能力
能力及計(jì)算及解決問(wèn)題的能力。滿分14分。
解:(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c。
因?yàn)镕1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),所以F1F2=2,c=1。
又因?yàn)?DF1=,AF2⊥x 軸,所以 DF2=,
因此 2a=DF1+DF2=4,因而 a=2。
從b2=a2-c2,我們得到b2=3。
因此,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
(2)解決方案1:
從(1)可知橢圓C:,a=2,
由于AF2⊥x軸,所以A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1。
將 x=1 代入 F2(x-1) 方程
2+y2=16,解得y=±4。
由于點(diǎn) A 位于 x 軸上方,因此我們得到 A(1,4)。
且F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2。
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通過(guò),得到,
解或。
代入
,
因此,F(xiàn)2(1,0),所以直線BF2:。
通過(guò),我們得到,解決或。
又因E是線段BF2與橢圓的交點(diǎn),所以。
代入,得。因此。
解決方案 2:
由(1)可知橢圓C為: 如圖所示網(wǎng)校頭條,連接EF1。
因?yàn)锽F2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,
因此,∠BF1E=∠B。
因?yàn)镕2A=F2B,所以∠A=∠B,
所以∠A=∠BF1E,因而EF1∥F2A。
因?yàn)?AF2⊥x軸,EF1⊥x軸。
因?yàn)?F1(-1,0),我們得到。
又因E是線段BF2與橢圓的交點(diǎn),所以。
所以。
18、本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線的非均勻性等基本知識(shí)。
考察運(yùn)用直覺(jué)想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
滿分:16分。
解決方案:解決方案 1:
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10
(1)過(guò) A 點(diǎn)作一條線,垂線的底端位于 E 點(diǎn)。
由已知條件可知,四邊形ACDE為矩形。’
因?yàn)?PB⊥AB,
所以。
所以。
因此道路 PB 的長(zhǎng)度為 15(百米)。
(2) ① 若 P 在 D 處,則由(1)可知 E 在圓上,則線段 BE 上的點(diǎn)(除
由于點(diǎn)B(E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑,所以如果P位于D處,就不符合規(guī)則。
規(guī)劃要求。
② 若Q在D處,則連通AD。由(1)可知
因此∠BAD是銳角。
因此,線段AD上存在一點(diǎn),它到點(diǎn)O的距離小于線段O的半徑。
因此,D處選取的Q也不符合規(guī)劃要求。
綜上所述,在 D 處,P 和 Q 都無(wú)法被選擇。
(3)首先討論點(diǎn)P的位置。
當(dāng)∠OBP90°時(shí),在中間,。
從上式可知,d≥15。
我們來(lái)討論一下Q點(diǎn)的位置。
由式(2)可知,要使QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)才滿足規(guī)則。
當(dāng)QA=15時(shí),線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離不小于
圓的半徑O。
綜上所述,當(dāng)PB⊥AB時(shí),Q點(diǎn)在C點(diǎn)的右側(cè),且CQ=,d最小。此時(shí)P、
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11
兩點(diǎn)Q之間的距離為PQ=PD+CD+CQ=17+。
因此,當(dāng)d最小時(shí),點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離為17+(百米)。
解決方案 2:
(1)如圖所示,過(guò)O作OH⊥l,垂線的底為H。
以O(shè)為原點(diǎn),直線OH為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系。
由于 BD=12,AC=6,OH=9,直線 l 的方程為 y=9,點(diǎn) A,B
垂直坐標(biāo)為3,-3。
因?yàn)锳B是圓形區(qū)域O的直徑,AB=10,所以圓形區(qū)域O的方程為x2+y2=25。
因此 A(4, 3),B(?4,?3),直線 AB 的斜率為。
由于 PB⊥AB,所以直線 PB 的斜率為,
直線PB的方程為。
所以 P(?13,9),.
因此道路 PB 的長(zhǎng)度為 15(百米)。
(2) ①設(shè)P在D點(diǎn),在線段BD上取點(diǎn)E(?4,0),則當(dāng)EO=490°時(shí),
在中國(guó),。
從上式可知,d≥15。
我們來(lái)討論一下Q點(diǎn)的位置。
由式(2)可知,要使QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)才滿足規(guī)則。
當(dāng)QA=15時(shí),令Q(a,9),從,得a=,所以Q(,9),這
當(dāng) 時(shí),線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑。
綜上所述,當(dāng)P(?13,9),Q(,9)時(shí),d最小,P與Q之間的距離為
離開(kāi)
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12
因此,當(dāng)d最小時(shí),點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離為(百米)。
19、本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)以及數(shù)學(xué)思想的綜合應(yīng)用。
方法分析不包括解決問(wèn)題和邏輯推理能力。滿分為16分。
答:(1)因?yàn)椋浴?/p>
因?yàn)椋裕鉀Q方案是。
(2)因?yàn)?/p>
所以,
因此,令 ,我們得到 或 。
因?yàn)椋诩现校⑶遥?/p>
所以。
此時(shí),。
令,我們得到或。列表如下:
–
最大限度
最低限度
所以的最小值為。
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十三
(3)因此,
.
因?yàn)橐虼耍?/p>
那么有2個(gè)不同的零點(diǎn),設(shè)置為。
靠,得到。
名單如下:
–
最大限度
最低限度
所以是最大值。
解決方案 1:
。所以。
解決方案 2:
因?yàn)橐虼恕?/p>
然后,。
那么就訂購(gòu)吧。
令,我們得到。列表如下:
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14
–
最大限度
那么在那個(gè)時(shí)候它就獲得了最大值,而且就是最大值,所以。
所以那時(shí)候,因此。
20、本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通式、性質(zhì)等基本知識(shí)。
知識(shí),測(cè)試代數(shù)推理、變換和歸約,以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探索和解決問(wèn)題
能力。滿分16分。
解答:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,故a1≠0,q≠0。
從,得,解。
因此該序列被稱為“M序列”。
(2)①因?yàn)椋浴?/p>
如果你明白了,那么。
通過(guò),得到,
那時(shí),由,得到,
梳理出來(lái)。
所以序列{bn}是一個(gè)等差數(shù)列,其首項(xiàng)和公差均為1。
因此,序列{bn}的通式為bn=n。
②由①可知bk=k,。
由于序列{cn}是“M序列”,令公比為q,因此c1=1,q>0。
因?yàn)閏k≤bk≤ck+1,所以,其中k=1,2,3,…,m。
當(dāng)k=1時(shí),q≥1;
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15
當(dāng)k=2,3,…,m時(shí),有。
那么假設(shè) f(x) =。
令,我們得到 x=e。列表如下:
(e,+∞)
–
f(x)
最大限度
因?yàn)橐虼恕?/p>
取,當(dāng)k=1,2,3,4,5,時(shí),即
經(jīng)過(guò)測(cè)試,也是成立的。
因此m的最大值不小于5。
若m≥6,分別取k=3、6,有3≤q3,且q5≤6,故q15≥243,且
q15≤216,
所以q不存在。因此m的最大值小于6。
綜上所述,m的最大值為5。
數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)
21. 本題由A、B、C三部分組成,請(qǐng)選擇其中兩個(gè),在相應(yīng)的答題框中作答。
回答該區(qū)域的問(wèn)題。如果您回答了多個(gè)問(wèn)題,則將根據(jù)前兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行評(píng)分。
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16
解釋、證明過(guò)程或計(jì)算步驟。
A.【選修4-2:矩陣不變換】(滿分10分)
已知矩陣
(1)查找 A2;
(2)求矩陣A的特征值。
B.【選修課4-4:坐標(biāo)系非參數(shù)方程】(滿分10分)
在極坐標(biāo)系中,給定兩點(diǎn),直線l的方程為。
(1)求出點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離;(2)求出點(diǎn)B到直線l的距離。
C.【選修課4-5:不等式精選講座】(滿分10分)
假設(shè),解不等式。
第22題和第23題每題10分,共20分,請(qǐng)?zhí)顚?xiě)在答題紙的指定區(qū)域。
作答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出書(shū)面說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟。
22.(本題10分)假設(shè)。已知。
(1)求n的值;(2)設(shè) ,其中 ,求 的值。
23.(本題10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)集為:
令。從集合Mn中選取任意兩個(gè)不同的點(diǎn),并使用隨機(jī)變量X來(lái)表示它們之間的距離。
離開(kāi)。
(1)當(dāng)n=1時(shí),求X的概率分布;
(2)對(duì)于給定的正整數(shù)n(n≥3),求概率P(X≤n)(以n表示)。
數(shù)學(xué) II(附加問(wèn)題)答案
21。
A.【選修4-2:矩陣不變換】
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17
本題主要考察矩陣運(yùn)算、特征值等基礎(chǔ)知識(shí),考察求解運(yùn)算的能力。
得分:10分。
解決方案:(1)因?yàn)椋?/p>
所以
==。
(2) 矩陣A的特征多項(xiàng)式為
令 ,并解得A的特征值。
B.[選修課4-4:坐標(biāo)系非參數(shù)方程]
本題主要考察曲線極坐標(biāo)方程的基本知識(shí)和計(jì)算求解的能力。
得分:10分。
解:(1)設(shè)極點(diǎn)為O,在△OAB中,A(3,),B(,),
根據(jù)余弦定律,我們得到AB=。
(2)由于直線 l 的方程為,
則直線l過(guò)點(diǎn)且傾斜角為。
再次,所以從點(diǎn)B到線l的距離為。
C.[選修課4-5:關(guān)于不平等的精選講座]
此題主要考查解不等式等基本知識(shí),考察計(jì)算、推理能力。
力量。滿分10分。
解:當(dāng)x2即x時(shí),原方程可轉(zhuǎn)化為x+2x-1>2,解為x>1。
綜上所述,原不等式的解集為。
22、本題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考察分析問(wèn)題的能力。
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18
能夠不經(jīng)過(guò)計(jì)算就解決問(wèn)題,滿分10分。
解決方案:(1)因?yàn)椋?/p>
所以,
.
因?yàn)椋?/p>
所以,
必須有解決方案。
(2)由(1)可知。
.
解決方案 1:
因?yàn)橐虼耍?/p>
從而。
解決方案 2:
.
因?yàn)橐虼恕?/p>
所以。
23. 本題主要考察計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)知識(shí)、古典概率模型、隨機(jī)變量及其概率分布。
考察基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯思維能力、推理論證能力,滿分10分。
解: (1) 當(dāng) 時(shí), 的所有可能值都是 。
的概率分布是,
.
(2)設(shè)和是從中取出的兩個(gè)點(diǎn)。
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19
因?yàn)椋灾恍枰紤]情況。
①若,則,方法不存在;
②如果、則、所以當(dāng)且僅當(dāng)、則或,有2種方式可供選擇;
③如果,那么,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以當(dāng)且僅當(dāng),此時(shí)或,有2種方式可供選擇;
④如果、那么、所以當(dāng)且僅當(dāng),此時(shí)或,有2種方式可供選擇。
綜上所述,當(dāng),所有可能的值為且,且
.
所以,。
2024-07-30 17:20
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