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如圖，已知等邊三角形△AEC，以AC為對角線做正方形ABCD（點B在△AEC內，點D在△AEC外）．連接EB，過E作EF⊥AB，交AB的延長線為F．

（1）猜測直線BE和直線AC的位置關系，并證明你的猜想．

（2）證明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．

試題答案

解：（1）猜測BE和直線AC垂直．

證明：∵△AEC是等邊三角形，

∴AE=CE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=CB，

∵BE=BE，

∴△AEB≌△CEB（SSS）．

∴∠AEB=∠CEB，

∵AE=CE，

∴BE⊥AC；

（2）∵△AEC是等邊三角形，

∴∠EAC=∠AEC=60°，

∵BE⊥AC，

∴∠BEA=∠AEC=30°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=45°，

∴∠BAE=15°，

∴∠EBF=45°，

∵EF⊥BF，

∴∠F=90°，

∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，

∴△BEF∽△ACB，

延長EB交AC于G，設AC為2a，則BG=a，EB=a-a，

∴相似比是：===

試題解析

（1）由等邊三角形△AEC與正方形ABCD，利用SSS，易證：△AEB≌△CEB，再根據等腰三角形的三線合一性質，即可證得：BE⊥AC；

（2）根據題意易得∠EBF的度數為45°，則易證△BEF∽△ABC，又由相似三角形的對應邊成比例，則可求得相似比．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及等邊三角形的性質等知識．題目圖形較復雜，解題時要注意數形結合思想的應用．