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如圖（1），在平面直角坐標系中二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點A（1，-2），B（3，-1）

（1）求拋物線的解析式及頂點C的坐標；

（2）請問在y軸上是否存在點P，使得S_△ABC=S_△ABP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）請在圖（2）上用尺規作圖的方式探究拋物線上是否存在點Q，使得△QAB是等腰三角形？若存在，請判斷點Q共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由（不用證明）．

試題答案

解：（1）設l₂的解析式為y=-x²+bx+c，聯立方程組：

解得得：b=，c=-，

則l₂的解析式為y=-x²+x-=-（x-）²-．

點C的坐標為（，-）．

（2）如答圖1，過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，

則AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=．

得：S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=．

延長BA交y軸于點G，直線AB的解析式為y=x-，則點G的坐標為（0，-），設點P的坐標為（0，h），

①當點P位于點G的下方時，PG=--h，連接AP、BP，

則S_△ABP=S_△BPG-S_△APG=--h，又S_△ABC=S_△ABP=，得h=-，點P的坐標為（0，-）．

②當點P位于點G的上方時，PG=+h，同理h=-，點P的坐標為（0，-）．

綜上所述所求點P的坐標為（0，-）或（0，-）（7分）

（3）作圖痕跡如答圖2所示．

由圖可知，

當以AB為腰以A為頂點時，以點A為圓心，以AB為半徑畫圓與拋物線交與Q₁；

當以AB為腰以B為頂點時，以點b為圓心，以AB為半徑畫圓與拋物線交與Q₂；

當以AB為底邊時，作AB的垂直平分線交拋物線于Q₃，Q₄；

故滿足條件的點有Q₁、Q₂、Q₃、Q₄，共4個可能的位置．（10分）

試題解析

（1）將已知的點A和點B的坐標代入拋物線的解析式即可求得b、c的值，進而確定拋物線的解析式；用配方法或公式法求得其頂點C的坐標即可；

（2）過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，根據三點的坐標可以得到AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=；從而得到S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=．然后延長BA交y軸于點G，直線AB的解析式為y=x-，則點G的坐標為（0，-），設點P的坐標為（0，h），最后分當點P位于點G的下方時和當點P位于點G的上方時兩種情況求得點P的坐標即可；

（3）分別以AB為底邊時、以AB為腰以B為頂點時、以AB為腰以A為頂點時三種情況討論即可得到答案．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，考查的知識點比較多，難度相對比較大．特別是本題中討論等腰三角形的個數時更容易漏掉．