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如圖，點C在線段AB上，△AMC和△CBN都是等邊三角形，求證：

（1）；

（2）MD•EB=ME•DC．

試題答案

證明：（1）∵△AMC和△CBN都是等邊三角形，

∴∠MAC=∠NCB=60°，

∴AM∥CN，

∴△ADM∽△NDC，

∴；

（2）∵△AMC和△CBN都是等邊三角形，

∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，CN=CB，

即∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中，

，

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴∠CAD=∠CME，

∵∠ACM=∠NCB=60°，

∴∠MCE=60°，

在△ACD和△MCE中，

，

∴△ACD≌△MCE（AAS），

∴AD=ME，

同理：△NDC≌△BEC，

∴BE=ND，

∵△ADM∽△NDC，

∴，

∴MD•ND=AD•DC，

∴MD•EB=ME•DC．

試題解析

（1）由△AMC和△CBN都是等邊三角形，易證得AM∥CN，即可得△ADM∽△NDC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得；

（2）易證得△ACN≌△MCB，繼而可證得△ACD≌△MCE與△NDC≌△BEC，根據全等三角形的對應邊相等，可得AD=ME與BE=ND，又由（1）△ADM∽△NDC，即可得，繼而可證得MD•EB=ME•DC．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．此題難度適中，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質的應用；注意數形結合思想的應用．