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數學考題練習:如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點P的坐標

更新時間:2024-01-12 16:25:39作者:貝語網校

如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點P的坐標為(1,-),交x軸于A、B兩點,交y軸于點C(0,-).

(1)求拋物線的表達式;

(2)把△ABC繞AB的中點E旋轉180°,得到四邊形ADBC.

①則點D的坐標為________;

②試判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由.

(3)試問在直線AC上是否存在一點F,使得△FBD的周長最小,若存在,請寫出點F的坐標;若不存在,請說明理由.

試題答案

解:(1)設拋物線的解析式是y=a(x-1)2-,

把C(0,-)代入得:a=,

∴y=,

答:拋物線的表達式是y=(x-1)2-.

(2)①解:y=(x-1)2-=0,

解得:x1=-1,x2=3,

A(-1,0),B(3,0),

∴E(1,0),

∴D(2,),

故答案為:D(2,).

②四邊形ADBC是矩形.

理由:四邊形ADBC是平行四邊形,且∠ACB=90°,

(3)答:存在.

解:作出點B關于直線AC的對稱點Bˊ,連接BˊD與直線AC交于點F.

則點F是使△FBD周長最小的點.

∵∠BˊCA=∠DAF=90°,∠BˊFC=∠DFA,

∴△BˊFC∽△DFA.

∴F是線段AC的中點,求得F(,),

答:存在,F的坐標是(-,-).

試題解析

(1)設拋物線的解析式是y=a(x-1)2-,把C(0,-)代入求出a=即可;

(2)y=(x-1)2-=0,求出A、B的坐標,得到E(1,0),即可推出D的坐標,根據矩形的判定即可推出答案;

(3)作出點B關于直線AC的對稱點Bˊ,連接BˊD與直線AC交于點F.則點F是使△FBD周長最小的點.根據△BˊFC∽△DFA即可求出答案.

點評:本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式,解一元二次方程,平行四邊形的性質,相似三角形的性質和判定,中心對稱圖形等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵.

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